Formspråk - proporsjoner
 
Det gylne snitt

   Det gylne snitt
   Det gylne rektangel
   Fyrstikkesken
   Tallverdien av f
   Den gylne spiral
    Furukonglen og Solsikken

Det gylne snitt har vært brukt i vest europeisk bildekunst og arkitektur helt siden antikken. Proporsjonen beskrives av Euklid i verket "Elementene" (ca 300 f. kr).




Det gylne snitt deler et linjestykke slik at forholdet mellom hele linjestykket og den større delen er lik forholdet mellom den større og den korte delen.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: 
Punktet B deler linjestykket AC i det gylne snitt dersom AC/AB = AB/BC. 

Tallet du får om du regner ut brøken kalles f og har uendelig mange 
desimaler : 1,6180339887498948482.............

Da Pytagoreerne så at tallet f verken slutter eller gjentar seg ble de sjokkerte. De mente at eksistensen av tall som verken var heltall (1, 2, 3, 4, ...) eller et forhold mellom to hele tall (1/2, 2/3, 3/4,.....), var en kosmisk feil som måtte holdes hemmelig. I dag vet vi at det finnes mange slike tall og vi kaller disse tallene for irrasjonelle tall.



Å dele en linje i det gylne snitt ved hjelp av passer og linjal

   Animasjon ( 51kB )


På en linje AC tegn en linje CD vinkelrett mot AC. La CD være halve AC. Trekk en linje mellom AD. La D være senter for en sirkel med radien DC. Sirkelen skjærer AD i E. La A være senter for en sirkel med radien AE. Denne sirkelen skjærer AC i det gylne snitt B. 


Det gylne rektangel

I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lange og korte siden lik f.

Å Konstruere det gylne rektangel

   Animasjon (90kB)

bulletKonstruer kvadratet ABEF
bulletFinn midtpunktet M på AB
bulletForleng AB mot C
bulletSett passeren i M og slå buen EC
bulletForleng FE mot D og sett avstanden ED lik BC
bulletTrekk til slutt CD. 


Fyrstikkesken

Fyrstikkeske proporsjonert lik det gylne rektangel.


Tallverdien av f


Vi lar sidene på kvadratet være 1 og bruker den Pytagoreiske læresetningen for å finne lengden på hypotenusen til den rettvinklede trekanten med
katetene 1/2 og 1:

 

 Ö(1/2)2+Ö(2/2)2 = Ö(5/4) = Ö5/2
f blir da 1/2+Ö5 /2 = 1,6180339887498948482.............

 


Spiralen i det gylne rektangelet

Det gylne rektangel kan deles inn i stadig mindre gylne rektangler som på figuren over. Ved å slå sirkelbuer med sentrum i det ene hjørnet på kvadratene
får vi en (tilnærmet logaritmisk) spiral hvor radien endrer seg med faktoren f.


Furukonglen

Furukonglen har logaritmisk spiralvekst; 13 spiraler til høyre og 8 til venstre.

 

Solsikken

Solsikkens frø danner logaritmiske spiraler.